Filtr RC to jeden z najprostszych i najbardziej wszechstronnych układów pasywnych w elektronice, składający się z rezystora (R) i kondensatora (C), który selektywnie przepuszcza lub tłumi składowe sygnału w zależności od częstotliwości.
W robotyce i elektronice służy do wygładzania sygnałów, usuwania szumów oraz separacji pasm w sterowaniu silnikami, torach czujników i przy przetwarzaniu sygnałów z mikrokontrolerów.
Zasada działania filtra RC
Filtr RC wykorzystuje różnice w impedancji elementów w funkcji częstotliwości. Rezystor ma stałą rezystancję, natomiast kondensator ma reaktancję pojemnościową opisaną zależnością: X_C = 1 / (2π f C), która maleje wraz ze wzrostem f.
Filtr dolnoprzepustowy RC
W konfiguracji dolnoprzepustowej rezystor jest włączony szeregowo z wejściem, a kondensator równolegle do obciążenia (napięcie wyjściowe pobierane jest z kondensatora).
Dla niskich częstotliwości reaktancja kondensatora jest wysoka, więc zachowuje się on jak obwód otwarty i sygnał przechodzi niemal bez strat. Przy wysokich częstotliwościach reaktancja maleje, kondensator „zwiera” składowe wysokie i tłumi je na wyjściu.
Transmitancja filtra I rzędu w dziedzinie częstotliwości: T(jω) = 1 / (1 + jωRC), gdzie ω = 2πf.
Filtr górnoprzepustowy RC
W wersji górnoprzepustowej kondensator jest włączony szeregowo, a rezystor do masy (równolegle do obciążenia). Niskie częstotliwości są blokowane przez dużą reaktancję kondensatora, a wysokie przechodzą dzięki jej spadkowi.
Transmitancja: T(jω) = (jωRC) / (1 + jωRC).
Układy RC są pasywne – nie wymagają zasilania, a ostrzejsze charakterystyki uzyskuje się przez kaskadowanie lub łączenie z filtrami LC.
Charakterystyka częstotliwościowa
Charakterystyka amplitudowa filtru RC pierwszego rzędu opada o 6 dB na oktawę (20 dB/dekadę) względem częstotliwości granicznej. Moduł transmitancji: |T(jω)| = 1 / √(1 + (ωRC)²).
Częstotliwość graniczna (odcięcia)
Kluczowym parametrem jest częstotliwość graniczna f_c, przy której amplituda spada o √2 (−3 dB): f_c = 1 / (2πRC); równoważnie ω_c = 1 / (RC), a stała czasowa τ = RC.
Przykładowy przebieg dla filtru dolnoprzepustowego wygląda następująco:
- przy
f ≪ f_c:|T| ≈ 1(przepuszcza), - przy
f = f_c:|T| = 1/√2 ≈ 0,707(−3 dB), - przy
f ≫ f_c:|T| ≈ 1 / (ωRC)(tłumienie).
Faza sygnału wyjściowego zmienia się o −45° przy f_c, co wiąże się z opóźnieniem grupowym. W praktyce wpływ mają też rezystancja upływu oraz ESR kondensatora, które delikatnie modyfikują charakterystykę.
W filtrach wyższego rzędu nachylenie rośnie: 12 dB/oktawę (II rząd), 18 dB (III), itd., co poprawia selektywność.
Podsumowanie różnic między podstawowymi topologiami przedstawia poniższa tabela:
| Typ filtru | Przepuszcza | Tłumi | Warunek f_c = 1/(2πRC) |
Spadek względem f_c |
|---|---|---|---|---|
| Dolnoprzepustowy | Niskie częstotliwości | Wysokie | Tak | −6 dB/oktawę powyżej |
| Górnoprzepustowy | Wysokie częstotliwości | Niskie | Tak | −6 dB/oktawę poniżej |
Obliczanie parametrów filtra RC
Projektowanie sprowadza się do doboru R i C na podstawie pożądanej częstotliwości granicznej f_c. Oto prosty schemat postępowania:
- Określ
f_c– z wymagań aplikacji (np. 1 kHz do wygładzania PWM); - Wyznacz stałą czasową –
τ = RC = 1 / (2π f_c); - Wybierz wygodną wartość kondensatora – np.
C = 1 µFdla niskich częstotliwości; - Oblicz rezystor –
R = 1 / (2π f_c C); - Zweryfikuj tolerancje i obciążenie – dobierz szeregi E12/E24 i sprawdź wpływ
R_Lw symulacji.
Przykład 1: filtr dolnoprzepustowy o f_c = 1 kHz. τ = 1 / (2π·1000) ≈ 159 µs. Dla C = 100 nF = 1×10⁻⁷ F: R = τ / C = 159×10⁻⁶ / 10⁻⁷ ≈ 1,59 kΩ ≈ 1,5 kΩ.
Przykład 2: filtr górnoprzepustowy o f_c = 50 Hz (usuwanie składowej DC w torze sensora). Dla C = 10 µF: R = 1 / (2π·50·10⁻⁵) ≈ 318 kΩ.
Uwzględnienie obciążenia – jeśli obciążenie ma rezystancję R_L, to efektywna rezystancja wynosi R_eff = R || R_L, co przesuwa f_c. Warto zweryfikować to w narzędziach takich jak LTspice czy MATLAB.
Wpływ tolerancji – typowe kondensatory mają tolerancję ±20%, więc f_c może się zmieniać o podobny procent; w razie potrzeby użyj potencjometru do kalibracji.
Zastosowania w robotyce i elektronice
Do najczęstszych zastosowań filtrów RC w projektach robotycznych należą:
- wygładzanie sygnału PWM – eliminacja składowych wysokiej częstotliwości z mostków H w sterowaniu silnikami DC;
- antyaliasing w ADC – tłumienie szumów przed konwerterami analogowo-cyfrowymi (np. Arduino);
- separacja sygnałów – w torach czujników (ultradźwięki, enkodery): dolnoprzepustowy usuwa zakłócenia, górnoprzepustowy – dryft DC;
- filtry Sallen–Key (aktywne) – rozszerzenie układów RC z wzmacniaczem operacyjnym do uzyskania wyższych rzędów;
- integratory i różniczkowniki – realizacja członów PID (integrator stratny i różniczkujący) w prostych torach analogowych.
W połączeniu z filtrami LC tworzą hybrydowe układy dla torów RF w systemach komunikacyjnych robotów. Symulacje w Proteus czy EAGLE usprawniają prototypowanie.
Ograniczenia i wskazówki praktyczne
Filtry RC I rzędu mają łagodne tłumienie (−6 dB/oktawę), więc do precyzyjnego filtrowania stosuj topologie wyższych rzędów lub rozwiązania aktywne.
Straty na rezystorze powodują spadek wzmocnienia o 3 dB przy f_c. Unikaj zbyt dużych wartości R (wpływ prądu upływu kondensatora) oraz zbyt małych C (dominacja pasożytów i szumów).
Testowanie – użyj generatora funkcyjnego i oscyloskopu, obserwuj wykres Bodego amplitudy i fazy. W robotyce kalibruj nastawy empirycznie, pod rzeczywistym obciążeniem.
Filtry RC to podstawa elektroniki – ich opanowanie przyspiesza prototypowanie, od prostych sensorów po złożone systemy sterowania.